Équations différentielles

Rédigé au départ à l’intention des candidats à l’agrégation de mathématiques, cet ouvrage très complet intéressera tous ceux qui ont affaire aux équations différentielles.

Tous les énoncés sont démontrés de façon précise et détaillée, et précédés ou suivis de nombreux exemples traités eux aussi dans tous leurs détails. S’y ajoutent 190 exercices complètement corrigés.

Après la théorie générale de l’existence et de l’unicité des solutions, dans les cadres linéaire et non linéaire, l’ouvrage aborde la résolution explicite de quelques équations « historiques » et la résolution par les développements en série des équations linéaires. À cette occasion est introduite la théorie de Fuchs des points singuliers et irréguliers. C’est dire que l’ouvrage ne se contente pas de reprendre l’enseignement élémentaire sur le sujet, mais qu’il traite en même temps de questions moins accessibles, dont l’importance théorique et le rôle dans les applications sont indéniables.

Le même principe est suivi dans les autres chapitres, qui sont relativement indépendants : équations autonomes et champs de vecteurs, étude qualitative des points stationnaires et des orbites, stabilité, hyperbolicité, zéros des solutions d’équations scalaires et théorie de Sturm de l’oscillation et de la comparaison des solutions des équations du second ordre, théorie de Floquet pour les équations à coefficient périodiques. Un chapitre est consacré aux schémas de résolution numérique, suivi d’un chapitre sur les équations avec conditions de bord, notamment à l’équation de Sturm-Liouville, traitée de façon classique, puis par les méthodes hilbertiennes, prélude au traitement numérique de cette équation. Ce chapitre peut servir d’introduction au traitement numérique des équations aux dérivées partielles (EDP). Le dernier chapitre est consacré aux équations différentielles issues de la physique et aux méthodes qui permettent de ramener certaines EDP à des équations différentielles ordinaires : méthode des caractéristiques pour les EDP du premier ordre, méthode de séparation des variables.

L’ouvrage est complété par un important appendice consacré à l’analyse (convergence uniforme, topologie, intégrales dépendant d’un paramètre, espaces de Banach et théorèmes de points fixe, méthodes hilbertiennes, séries de Fourier, transformation de Laplace, calcul différentiel), sujet dont certaines bases peuvent manquer aux étudiants en mathématiques qui abordent les équations différentielles, comme aux non-mathématiciens qui recherchent des informations précises sur les équations différentielles et leurs solutions.